Badam własności obiektów geometrycznych narzędziami teorii miary (geometryczna teoria miary). Interesują mnie przede wszystkim prądy i varifoldy jako minima bądź punkty krytyczne eliptycznych funkcjonałów wariacyjnych. Obiekty te można rozumieć jako słabe (miarowe) granice gładkich rozmaitości. Samo pojęcie eliptyczności jest również przedmiotem badań. Skupiam się na obiektach dowolnego wymiaru i kowymiaru zanurzonych w Euklidesowej przestrzeni otaczającej. Klasycznymi przykładami interesujących mnie zagadnień jest problem Plateau (minimalizacja "pola powierzchni" przy ustalonym "brzegu") oraz problem izoperymetryczny (minimalizacja "pola powierzchni bocznej" przy ustalonej objętości) w wersjach anizotropowych. Oprócz klasycznej teorii miary (w szczególności miar Hausdorffa) wykorzystuję narzędzia topologii i geometri różniczkowej, a nieraz też topologii algebraicznej.

I study properties of geometric objects using tools of measure theory (geometric measure theory). I am mainly interested in currents and varifolds as minima or critical points of elliptic variational functionals. These objects can be understood as weak (measure-theoretic) limits of smooth manifolds. The notion of ellipticity itself is also a subject of study. I focus on objects of arbitrary dimension and codimension embedded in Euclidean ambient space. Classical examples of problem I am interested in are the Plateau problem (minimization of "area" of surfaces with fixed "boundary") and the isoperimetric problem (minimization of "boundary area" of open sets with fixed volume) in anisotropic versions. In addition to classical measure theory (in particular, Hausdorff measures), I use the tools of topology and differential geometry, and sometimes algebraic topology.

Eliptyczne geometryczne zagadnienia wariacyjne - grant NCN lata 2023-2028 - możliwy dodatek do stypendium

1. Eliptyczność. Dotąd brak nietrywialnych przykładów geometrycznych funkcjonałów eliptycznych. Kilka klasycznych kandydatów wciąż czeka na dowód swojej eliptyczności. Poza tym istnieją dwa różne pojęcia eliptyczności. Pytamy czy są równoważne.


2. Słaba zasada maksimum. W przestrzeniach nieeuklidesowych można zdefiniować odpowiednik krzywizn głównych dla hiperpowierzchni. Pytamy czy jeśli niegładka k-wymiarowa powierzchnia (tzn. varifold) dotyka gładkiej hiperpowierzchni M w punkcie p to jego średnia krzywizna w p musi się szacować w terminach krzywizn głównych M.


3. Regularność punktów krytycznych. Regularność prawie wszędzie punktów krytycznych anizotropowych funkcjonałów jest długo otwartym problmem. Można jednak dowodzić wyniki pośrednie, np. badając szybkość zaniku wahania przestrzeni stycznych itp.

Polish National Science Centre grant titled Elliptic geometric variational problems (years 2023-2028) - additional scholarship possible

1. Ellipticity. So far there is a lack of non-trivial examples of geometric elliptic functionals. Several classical candidates are still waiting for a proof of their ellipticity. Besides, there are two different notions of ellipticity. We ask whether they are equivalent.


2. Weak maximum principle. In non-Euclidean spaces, one can define principal curvatures for hypersurfaces. If a k-dimensional varifold touches a smooth hypersurface M at a point then we ask whether its mean curvature must be estimated in terms of the principal curvatures of M.


3. Regularity of critical points. Regularity almost everywhere of critical points of anisotropic functions is a long standing open probllem. However, one can prove intermediate results, e.g., by studying the rate of decay of the tilt-excess etc.