Afiniczna geometria algebraiczna, teoria osobliwości, teoria odwzorowań wielomianowych, osobliwości odwzorowań wielomianowych, algebra komutatywna, teoria odwzorowań bi-lipszicowskich, funkcje holomorficzne.

Geometria afiniczna, teoria osobliwości, generyczne odwzorowania wielomianowe, odwzorowanie lipszicowskie.

Nasz projekt dotyczy geometrii odwzorowań wielomianowych i semi-algebraicznych. Rozważamy następujące zagadnienia:

1) Przedłużanie odwzorowań bi-lipszicowskich 

Niech X,Y będą przestrzeniami metrycznymi głównie podzbiorami R^n. Mówimy, że odwzorowanie bijektywne f: X-> Y jest bi-lipszicowskie jeśli istnieje stała dodatnia K, taka że 1/K| x-y|< |f(x)-f(y)| < K |x-y|, dla wszystkich x,y w X. Badanie takich odwzorowań jest dzisiaj ważną częścią teorii osobliwości i geometrii algebraicznej. Używając metod geometrii lipszicowskiej możemy sklasyfikować zbiory algebraiczne rzeczywiste i zespolone. Zamierzamy dowieść, że każdy zbiór semi-algebraiczny wymiaru k ma tylko jedno bi-lipszicowskie zanurzenie w R^n o ile n>2k+1 (z dokładnością do bi-lipszicowskiego homeoemorfizmu przestrzeni R^n).

2) Stabilność odwzorowań wielomianowych 

Klasyczne metody teorii osobliwości nie stosują się do algebraicznych rodzin odwzorowań wielomianowych. Istotnie topologia Whitneya jest na takich rodzinach dyskretna. W naszym poprzednim projekcie zaczęliśmy rozwijać teorię osobliwości dla algebraicznych rodzin odwzorowań wielomianowych. W szczególności udowodniliśmy wersję twierdzenia Whitneya dla rodziny P_{\C^2}(d_1,d_2) odwzorowań wielomianowych f:C^2->C^2 ustalonego stopnia. W tym projekcie definiujemy pojęcie stabilności odwzorowania wielomianowego i badamy jego własności.

3) Generyczny zbiór defektu symetrii rozmaitości afinicznej 

Od ponad dwadziestu lat rozwinięto wiele metod do badania afinicznej geometrii powierzchni i krzywych. Zbiory symetrii, zbiór środka symetrii i zbiór defektu symetrii były badane intensywnie dla gładkich owali. W naszym projekcie budujemy algebraiczny odpowiednik tej teorii i definiujemy pojęcie generycznego zbioru defektu symetrii. Pokażemy że ten zbiór ma tylko dobre osobliwości i opiszemy jego geometrię dla generycznej krzywej danego stopnia.

4) Topologiczna klasyfikacja odwzorowań kwadratowych F: C^3->C^2, F:C^3->C^3.

W naszym poprzednim projekcie sklasyfikowaliśmy topologicznie odwzorowania kwadratowe F: \C^2->C^n, n=1,2,3,.... Tutaj chcemy sklasyfikować topologicznie odwzorowania kwadratoweF: C^3 -> C^2, F:C^3->C^3. Problem ten jest bardzo trudny, ale wierzymy , że przynajmniej częściowe rezulaty są możliwe do osiągnięcia.

Our project is connected with geometry of polynomial and semi-algebraic mappings. We consider four issues:

1) Extension of bi-Lipschitz mappings

Let X,Y be a metric spaces (mainly subspaces of R^n). We say that a bijective mapping f: X-> Y is bi-Lipschitz if there is a constant K>0, such that 1/K| x-y|< |f(x)-f(y)| < K |x-y|, for every x,y from X. Study of such mappings (the Lipschitz geometry) nowdays is an important part of singularity theory and algebraic geometry. Using the method of Lipschitz geomery we can classify algebraic complecx and real sets. We are going to prove that a semi-algebraic set X of dimension k has only one bi-Lipschitz embedding in R^n, if n>2k+1 (up to a bi-Lipschitz homeomorphism of $\R^n$).

2) Stability of polynomial mappings

Classical method of singularity theory can not be applied for algebraic families of polynomial mappings. Indeed the Whitney topology is discrete on any of such family. In our previous project we have started to develop singularity theory for families of polynomial mappings. In particular we have proved a version of the classical Whitney theorem for the family P_{\C^2}(d_1,d_2) of polynomial mappings f:C^2->C^2 of fixed degree. In the project we will define the notion of stability of a polynomial mapping and we will investigate its properties.

3) {\bf Generic symmetry defect set of an affine variety}

Over the last two decades numerous methods have been developed to study affine geometry of surfaces and curves. The symmetry sets and the center symmetry sets were investigated extensively for real smooth ovals. In our project we will build an algebraic counterpart of this theory and we will define a notion of a generic defect symmetry set for algebraic variety X^n contained in C^{2n}$. We will show that it has nice singularities and we will describe its geometry for generic algebraic curves of fixed degree.

4) Topological classification of quadratic polynomial mappings F: C^3->C^2, F:C^3->C^3.

In our previous project we have classified topologically quadratic polynomial mappings F: C^2->C^n, n=1,2,3,.... Here we would like to classify topologically quadratic polynomial mappings F: C^3->C^2, F:C^3->C^3. This is very difficult problem, but we believe that at least some partial results are possible.